Понимание «веса» и взвешенного среднего

В общем случае, если для $n$ чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$ веса равны $w_1, w_2, \cdots, w_n$, то:

$\frac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$

называется взвешенным средним этих $n$ чиселвзвешенное среднее (weighted average). Вес (weight) означает степень важности данных. Чем больше вес, тем сильнее влияние этой части данных на конечное среднее значение (как тяжелый груз на физическом рычаге притягивает точку опоры к себе).

Частота как вес: работа с группами данных

При статистической обработке больших массивов данных (например, месячные продажи сотрудников отдела одежды в торговом центре или возраст спортсменов-пловцов), одинаковые значения могут встречаться многократно. В этом случае количество появлений (частота) естественно становится весом этого значения.

При вычислении среднего значения $n$ чисел, если $x_1$ встречается $f_1$ раз, $x_2$ — $f_2$ раз, ..., $x_k$ — $f_k$ раз (при этом $f_1+f_2+\cdots+f_k=n$), то среднее этих $n$ чисел:

$\bar{x} = \frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{n}$

также называется взвешенным средним этих $k$ чисел, где $f_1, f_2, \cdots, f_k$ — это веса $x_1, x_2, \cdots, x_k$. Используя этот метод, можно исключить влияние редких экстремальных значений, реально отобразить средний уровень большинства сотрудников и разработать систему вознаграждения, которая будет и вызывать интерес, и быть выполнимой.

Мудрость использования средних значений групп

Когда данные приблизительно распределены по разным интервалам (группированные данные), мы теряем конкретные значения каждого элемента. В таком случае среднее значение группысреднее значение группы— это среднее арифметическое двух крайних значений группы. Например, умножение среднего значения интервала на частоту образует классическую модель взвешенного расчета:

$\bar{x} = \frac{11 \times 3 + 31 \times 5 + 51 \times 20 + 71 \times 22 + 91 \times 18 + 111 \times 15}{3+5+20+22+18+15}$